반 힐레의 기하 학습 수준 이론(2)

○ 반 힐레의 기하 학습 수준 이론의 특징

반 힐레의 학습 수준 이론의 특징은 크게 다섯 가지로 살펴볼 수 있는데, 그것은 다음과 같다. 

 

첫째, 사고는 상대적인 수준이 있는 불연속적인 활동으로서 수학 학습에서 하위 수준을 통과하지 않고 상위 수준에 도달할 수 없으며, 수학적 사고는 모든 수준을 순차적으로 거쳐서 발달하게 된다는 것이다. 즉, 학생들은 n-1 수준을 통과하지 않고는 n 수준에 도달할 수 없다. 

 

둘째, 모든 학생이 같은 속도로 각 수준을 통과하는 것은 아니며, 수준의 이행은 적절한 학습 지도에 의해 촉진될 수도 있고 부적절한 지도 때문에 지연될 수도 있다는 것이다. 한 수준에서 다음 수준으로의 발달은 나이나 신체의 성숙보다 교육의 내용이나 방법에 더 많이 의존한다.

 

셋째, 더 높은 수준에서는 낮은 수준에서의 행동이 분석의 대상이 된다는 것이다. 다시 말해서, 전 수준에서는 사고의 수단이었던 것이 다음 수준에서는 사고의 대상이 되며, 전 수준에서 암묵적으로 이해된 개념이 그다음 수준에서는 분명하게 이해된다. 다시 말해서, 제1수준은 주변 사물이라는 대상을 도형이라는 수단에 의해 파악하는 단계이며, 제2수준은 도형이라는 대상을 도형의 성질이라는 수단에 의해 사고하는 단계이다. 제3수준은 도형의 성질이 사고 대상이 되고, 그러한 도형의 성질을 명제라는 수단으로 파악하는 단계이다. 제4수준에서는 명제가 사고의 대상이 되고 논리를 수단으로 그러한 명제들을 파악하며, 제5수준에서는 논리 그 자체가 연구 대상이 된다.

 

넷째, 각 수준이 그 자체의 언어적 상징과 그 상징을 연결하는 관계 체계를 가지고 있음을 의미한다. 따라서 수준의 상승은 언어의 확장과 관계된다.

 

다섯째, 서로 다른 수준에서 추론하는 두 사람은 서로를 이해할 수 없다는 것이다. 이것은 교사와 학생 사이에서 자주 발생하는 현상이며 학습 지도를 어렵게 만드는 요인이 되고 있다.

 

 이처럼 반 힐레는 수학의 학습 과정을 수준 이론으로 설명하면서, 전 수준에서의 사고의 수단이 다음 수준에서는 사고의 대상이 되는 사고의 비약으로 보고 있다. 이러한 관점은 수학을 현상이 그것을 정리하는 수단인 본질로 조직되고, 그 본질은 다시 현상이 되어 새로운 본질로 조직되는 끊임없는 재조직화의 과정인 수학화로 규정한 프로이덴탈의 관점과 일맥상통하는 면이 있다고 할 수 있다.

 

○ 반 힐레의 교수·학습 단계

 반 힐레의 학습 수준 이론의 가치는 학생의 사고가 어떤 수준에 있는가 하는 학생 사고의 층별화보다는 교수를 위한 처방에 있다. 반 힐레에 따르면, 한 수준에서 다음 수준으로의 발전은 생물학적 성숙이나 발달에는 거의 의존하지 않으며, 교수·학습 과정에서의 교육 내용과 방법에 더 많이 의존하는바, 교사는 학생 수준의 발전을 촉진할 수 있다. 그렇다면 교사는 한 수준에서 다음 수준으로의 이행을 어떻게 촉진할 수 있는가? 반 힐레는 이에 대해 각 수준 안에서 교수를 계열화하기 위한 교수학적 수단을 처방하였다. 반 힐레는 학생들이 한 수준에서 다음 수준으로 발전하도록 교사가 어떻게 지도할 것인가에 대해 질의/안내 단계, 안내된 탐구 단계, 발전/명료화 단계, 자유 탐구 단계, 통합 단계의 다섯 단계 이루어진 교수·학습 과정을 제시하고 있다.

 

• 1단계 : 질의/안내 단계

질의/안내 단계에서는 교사와 학생 사이의 대화를 통해서 새로운 학습 주제를 소개한다. 학생은 제시된 자료와 필요한 논의를 통해 탐구할 분야에 친숙해지기 위한 활동을 하면서 앞으로 공부할 과제의 방향이 무엇인지 배운다. 교사는 학습할 주제에 관한 학생의 선행 지식이 무엇인지를 파악하여 학생이 새로운 주제를 이해하도록 도움을 주고 질문을 하며 관찰을 수행한다.

 

• 2단계 : 안내된 탐구 단계

안내된 탐구 단계에서 학생은 신중하게 계열화된 활동을 통해 새로운 학습 주제의 특징에 익숙해진다. 학생은 교사가 제공하는 자료를 통해 학습 주제를 탐구하면서 그 진행 방향을 감지하고 탐구 분야의 구조를 점진적으로 파악한다. 교사는 학습 주제를 탐구하는 활동에 학생이 능동적으로 참여하도록 하기 위하여 조심스럽게 설명해 나간다. 이때 교사의 역할은 학생의 행동을 적절한 탐구로 이끌면서 학생 활동을 지시하는 것이다. 여기에서의 대부분의 활동은 특별한 반응을 유도하는 단일 단계의 과제이다.

 

• 3단계 : 발전/명료화 단계

발전/명료화 단계에서 학생은 교사의 개입이 최소인 상태에서 자신의 개념화와 어휘를 정련시킨다. 이 단계에서는 안내된 탐구 단계에서 익숙해진 새로운 과제를 표현하는 활동을 통하여 그것을 명확히 하며 전문적인 용어를 학습한다. 학생은 예전의 경험과 교사로부터 얻은 최소한의 힌트를 토대로 탐구 분야의 구조에 대한 자신의 견해를 표현하며, 관계 체계를 형성하기 시작한다.

 

• 4단계 : 자유 탐구 단계

자유 탐구 단계에서 학생은 문제 해결적 성격을 갖는 보다 복잡한 과제에 도전하게 된다. 학생은 여러 가지 해결 방법을 찾아봄으로써 탐구 분야의 구조에 정통하게 되며, 그 과제를 완성한 후에 공부한 그 영역 안에서 스스로 자신의 나아갈 바를 정해서 새로운 관련성을 찾는다. 학생은 다중 단계의 과제나 여러 가지 방식으로 완수될 수 있는 과제와 접하면서 자신만의 방식을 찾는 경험을 하게 되며, 그럼으로써 탐구 대상 사이의 많은 관계가 학생들에게 더욱 명확해진다.

 

• 5단계 : 통합 단계

통합 단계에서 학생은 자신의 관찰을 재검토하고 요약하며, 대상과 관계의 새로운 그물망을 형성하기 위해 그동안 배운 새로운 개념과 관련성을 통합한다. 결국 학생은 탐구 활동을 개관하여 전체를 조망하게 되면서 사고 수준의 비약에 이르게 된다. 교사는 전혀 새롭거나 자연스럽지 못한 아이디어를 내놓지 않도록 주의해야 하며, 학생이 이전의 활동을 반성하고 관찰한 것을 명료하게 정리할 수 있도록 전체적인 개관을 제시하면서 돕는다.

 

 이와 같은 교수·학습 단계를 통해 수준의 비약이 가능하게 하기 위해서는 교사의 일방적인 설명이 아니라 학습자 자신의 탐구 활동이 가장 중요한 요인이라고 할 수 있다. 반 힐레의 교수·학습의 다섯 단계를 직접 교수에 적용하는 데 있어서, 교사는 학생들의 필요에 따라 몇 시간 동안을 계속해서 특별한 단계에 머무를 수도 있고, 또한 여러 단계를 몇 번이고 되풀이할 수 있다.