디너스의 수학 학습 심리학

디너스는 수학 학습을 '놀이'를 통한 구성적 활동이라고 보고, 학습자의 수학 학습 경험의 계열화 과정에서 구체적인 수학 자료의 사용을 중요시하였고, 이에 기초하여 네 가지의 수학 학습 원리를 제시하였다.

 

 1. 놀이를 통한 학습

디너스가 제창하고 있는 수학 학습은 아동의 내재적 동기에 근거한 학습, 수학적 상황에서의 '놀이'로써 조직된 수학 학습, 수학적 구조를 내포한 학습 상황에서의 수학적 구조의 구성 및 그 응용 학습을 통해서 통합적 인격 형성에 기여하는 학습이다. 디너스는 '개폐 연속체'라는 용어를 도입하여 아동들의 개념 형성 과정을 설명하고 있으며, 이는 피아제의 반영적 추상화를 통한 개념의 추상화 과정에 비유할 수 있다. 개폐 연속성의 기본적인 생각은 개념 형성의 단계를 거쳐 일단 형성된 수학적 개념은 닫힌 상태(폐)로 되지만, 분석과 적용 과정에서 열린 상태(개)로 변하여 보다 객관적이고 보다 높은 수준의 재구성이 이루어진다는 것이다. 예를 들어, 색종이로 만든 여러 가지 모양의 평면 도형으로 놀이하는 과정에서 둥근 모양, 네모 모양, 세모 모양을 식별한다면 이 세 가지 모양에 대한 개념이 형성된 것이다. 여기서 나아가 여러 가지 네모 모양의 종이로 놀이하는 과정에서 차이를 식별하여 정사각형, 직사각형, 평행사변형 등의 개념을 형성하는 경우를 생각해 볼 수 있다. 디너스는 이처럼 구조화되어 가는 한없이 열린 사고가 수학적 사고의 본질이라고 보고 있다.

 

디너스가 놀이를 통하여 제시하고 있는 수학 개념의 학습 과정은 자유 놀이, 게임, 공통성 탐구, 표현, 기호화, 형식화의 6단계로 이루어진다. 도형 개념의 학습을 예로 들어 6단계를 더욱 상세히 살펴보면 다음과 같다.

 

제1단계인 자유 놀이의 단계는 아동들은 구조화되어 있지 않은 조작이나 실험 활동 등 많은 구체적인 자료를 자유롭게 대하는 시기이다. 도형 개념의 예를 든다면 개수나 모양, 크기 등이 여러 가지로 주어진 구체물로 놀이하는 경험을 하는 것이 된다.

 

제2단계인 게임 단계는 아동들은 자유롭게 놀이하는 가운데 점차로 어떤 규칙성이 있다고 느끼게 되는 시기이다. 도형 개념의 예를 든다면 어떤 도형은 각진 부분이 없다거나 모양에 차이가 있다는 것을 인식하는 단계이다.

  

제3단계인 공통성 탐구의 단계에서는 놀이의 소재가 되는 여러 구체물 속에 공통으로 들어 있는 특정 개념의 수학적인 구조를 파악하기 시작하며, 게임 단계에서 감지되는 규칙성이 보다 명확해지는 단계로 볼 수 있다.

 

제4단계인 표현 단계는 아동이 추상화 과정을 통하여 파악한 개념의 공통성을 적절한 방법으로 표현하는 시기이다. 이때 사용하는 표현 방법은 간단한 그림의 형태나 언어적인 방법, 전형적이거나 포괄적인 예 등 다양한 방법이 가능하다. 네모 모양이나 세모 모양, 둥근 모양 등에 대하여 다양한 방법으로 표현하게 된다.

 

제5단계인 기호화의 단계에서 아동들은 자신만의 적절한 수단으로 표현한 개념을 수학적인 기호를 이용하여 표현하게 된다. 아동이 자기 나름의 기호 체계를 발명하는 것도 좋겠지만 의사소통을 위하여 공통점을 이용하는 수학적 기호를 이용하도록 지도해야 한다. 도형 개념에서는 네모, 세모, 동그라미 또는 사각형, 삼각형, 원 등의 표현을 이용하도록 지도하는 단계이다.

 

제6단계인 형식화의 단계에서는 아동이 추상한 개념의 수학적인 구조를 파악하고, 이 개념이 가진 여러 성질을 체계화하게 된다. 삼각형과 사각형의 관계나, 삼각형의 성질, 사각형의 성질 등을 파악하게 되는 단계이다.

 

2. 수학 학습 원리

 디너스는 자신의 학습 이론을 구현하기 위한 효과적인 학습 원리를 4가지로 제시하고 있는데 이는 다음과 같다.

 

• 역동적 원리 : 수학적 개념 형성을 위하여, 목표가 불분명하며 그 자체로 즐기는 예비 놀이 단계, 좀 더 방향이 정해지고 목적을 지향하지만 추구하고 있는 것에 대한 명확한 인식은 없는 구조화된 놀이 단계, 형성된 개념을 고정하고 적용하기 위한 실습 놀이 단계의 각각을 순차적으로 적절한 시기에 필수적인 경험으로써 제공하여야 한다는 것이다. 이러한 3단계 놀이는 상대적인 것으로 한 개념에 대한 실습 놀이가 이후의 개념을 위한 예비 놀이가 될 수도 있다. 아동이 어릴 때는 구체적인 도구를 가지고 놀이해야 하지만, 순차적으로 정신적인 게임을 도입함으로써 모든 게임 중에 가장 흥미 있는 게임인 수학의 맛을 보게 할 수 있을 것이다.
• 구성의 원리 : 아동은 분석적 사고를 하기 훨씬 이전에 구성적 사고를 발달시키므로, 아동에게 제시하는 수학적 상황은 분석보다는 구성을 요구하는 것이 우선되어야 한다는 것이다. 아동은 논리적 판단을 할 준비가 되어 있지 않더라도 많은 수학적 개념을 훨씬 쉽게 잘 구성할 수 있으며, 구성한 것에 대한 논리적 탐구는 자연스럽게 몇 년 후에 나타나게 된다.
• 수학적 다양성의 원리 : 수학적 개념은 보통 몇 개의 변인을 포함하고, 개념을 구성하는 변인은 변화하지만, 이 변인들 사이의 항구적인 관계가 수학적 개념이다. 개념의 성장을 돕기 위해 구조화된 경험을 제공하려면, 개념은 변하지 않게 유지하면서 가능한 한 많은 변인을 변화시켜야 한다는 것이다. 예를 들어, 평행사변형의 개념 학습을 위한 예를 제공한다면, 대변이 평행이 되도록 유지하면서 각의 크기나 대변의 길이, 위치 등을 변화시킴으로서 모양을 변화시키는 것을 말한다.
• 지각적 다양성의 원리 : 동일한 개념을 형성하는 데 존재하는 가능한 모든 개인차를 고려하는 방법으로서, 동일한 개념적 주제에 대한 다양한 수단을 써 가능한 한 많은 변화를 주자는 것이다. 즉, 다르게 보이지만 근본적으로 동일한 개념 구조를 가지는 과제를 제공하자는 것으로 지각적 표현을 변화시키는 것이 여기에 해당한다. 예를 들어, 평행사변형을 종이 위에 그릴 수도 있고, 두 개의 합동인 나무로 된 삼각형으로 만들 수도 있고, 점판 위에 표시할 수도 있고, 벽지의 패턴에서도 찾을 수 있다.

이러한 원리를 바탕으로 직육면체 개념에 대한 학습을 예로 살펴보면 다음과 같다. 첫째로, 역동적 원리에 의하여 아동들에게는 직육면체 모양의 다양한 구체물을 이용하여 3단계의 놀이 경험을 제공할 필요가 있다. 둘째로, 구성의 원리에 의하여 직육면체를 두고 성질을 분석하게 하는 활동보다는 쌓기나무나 미분지에 그린 전개도 등을 이용하여 직육면체를 구성해 보는 경험을 먼저 제공할 필요가 있다. 셋째로, 수학적 다양성의 원리에 의하여 직육면체를 이루는 변인 중에서 변화시킬 수 있는 것, 즉 밑면이 정사각형인 경우와 정사각형이 아닌 경우, 가로의 길이보다 높이가 큰 경우와 작은 경우의 직육면체 등 수학적으로 다양한 모양의 직육면체를 제공할 필요가 있다. 넷째로, 지각적 다양성의 원리에 의하여 쌓기나무로 만든 직육면체, 플라스틱 빨대를 연결하여 구성한 직육면체, 종이를 이용하여 만든 직육면체 등 지각적으로 다양한 소재를 이용하여 구성된 직육면체를 제시할 필요가 있다.

 

그러나 이러한 디너스의 개념 학습 원리에는 피아제가 반영적 추상화의 과정에 포함한 반성의 과정이 포함되었다고 말하기가 어려우며, 아동 활동의 조정으로부터의 추상화라기보다는 놀이 대상이 갖는 성질의 추상화를 말하고 있다는 점에서 피아제의 용어로는 경험적 추상화의 수준에 머물러 있다고 할 수 있다.