스켐프의 수학 학습 심리학(2)

○ 관계적 이해와 도구적 이해

 스켐프는 이해를 관계적 이해와 도구적 이해의 두 가지로 구분하고 있다. 관계적 이해는 무엇을 해야 할지 그리고 왜 그런지를 모두 알고 있으면서 일반적인 수학적인 관계로부터 특수한 규칙이나 절차를 연역할 수 있는 상태를 말하고, 도구적 이해하는 이유는 모르는 채 암기한 규칙을 문제해결에 적용하는 것을 말한다. 스켐프는 이해의 종류를 보여 주기 위하여 다음과 같은 예를 들고 있다.

 

교사가 직사각형의 넓이는 A=LB로 구해진다고 학생들에게 환기하게 시켰다고 가정하자. 처음 이 내용을 설명할 때 없었던 학생이 자기는 이해하지 못한다고 말했다. 그래서 교사는 그에게 다음과 같이 설명했다. '공식을 보면 직사각형의 넓이는 길이와 폭을 곱하여 구한단다.' 학생은 '네, 알겠어요'라고 대답하고 연습 문제를 풀어나갔다. 만일 우리가 이 학생에게 '너는 이해한다고 생각하겠지만, 정말로 이해하는 것이 아니야'라고 말한다면, '나는 이해하고 있어요. 보세요. 답이 모두 맞았잖아요.'라고 하면서 동의하지 않을 것이다. 그리고 이 학생은 자신의 성취를 대수롭지 않게 보는 것에 대해서 불쾌해할 것이다. 이 학생이 생각하는 '이해'라는 의미에서는 이 학생은 정말로 이해한 것이다.

 다른 예로 분모가 다른 두 분수의 크기 비교를 이해하는 경우를 생각해 보면, 핵심적인 생각은 통분에 의하여 분모를 같게 만들어 분자끼리 비교한다는 것이다. 이를 도구적으로 이해하는 경우는 다음과 같은 것이다. (여기서 1/3과 2/5의 크기 비교를 예로 들기로 한다)

•  두 분모의 최소공배수를 구한다. (3과 5의 최소공배수는 15이다)
•  분자와 분모에 같은 수를 곱하여 분수를 변형한다. (1/3=1/15, 2/5=6/15)
•  분자의 크기가 두 분수의 크기를 결정한다. (5> 6이므로 1/3<2/5 이다)

이처럼 분수의 크기 비교를 가르칠 때 관계적 이해를 하게 한다는 의미는 분수의 크기 비교 그 자체만을 알게 하는 것이 아니라, 분수의 스키마 속에서 분수의 대소를 알게 한다는 것이다. 다시 말하면, 분수의 여러 가지 성질들, 이를테면 분수란 무엇인가, 두 분수 중 더 큰 분수는 무엇인가, 분수의 덧셈은 어떻게 하는가 등에 대하여, 각각의 사실을 아는 것이 중요한 것이 아니라 분수의 덩어리, 즉 분수 전체 속에서 각각의 사실을 알아야 한다는 것이다. 이렇게 관계적 이해를 했을 때의 장점으로는 스켐프는 다음 네 가지를 들고 있다.

 

•  관계적으로 이해된 수학은 새로운 과제에 더 잘 적응된다. 예를 들어, 분모가 다른 분수의 대소 비교를 관계적으로 이해한 학생은 도구적으로 이해한 학생보다 분모가 다른 분수의 덧셈을 더욱 쉽게 학습하게 될 것이다.
•  관계적으로 이해된 수학은 기억하기에 더 쉽다. 앞의 예에서 분모가 다른 분수의 대소 비교 하나만을 본다면 도구적 이해가 기억이 더 쉬울 수도 있을 것이다. 하지만 분모가 다른 분수에 대한 덧셈, 뺄셈 등을 종합적으로 생각한다면 관계적 이해를 통하여 학습했을 때 더 잘 기억된다는 것이며, 이와 함께 기억의 지속력이 더 강하다는 것이다.
•  관계적으로 이해된 지식은 그 자체가 효과적인 목적이 될 수 있다. 이는 도구적 이해를 '지도하는 과정에서 유발될 수 있는 외적인 보상과 벌에 대한 요구가 크게 줄어들고 동기 부여가 더욱 쉬워진다는 것이다.
•  관계적 스키마는 질적으로 유기적이다. 관계적 스키마는 그 자체가 성장하는 하나의 요인으로 작용한다는 것으로, 사람들이 관계적 이해를 통하여 만족감을 얻게 되면 자기 앞에 놓인 새로운 자료를 관계적으로 이해하려고 노력할 뿐만 아니라 능동적으로 새로운 자료를 찾고 새로운 분야를 탐구하게 된다는 것이다.

○ 직관적 지능과 반영적 지능

 스켐프는 직관적 지능과 반영적 지능을 설명하기 위하여 다음과 같은 예를 제시하고 있다. 

어떤 유명한 수학 교수에 대한 일화가 있다. 그는 수학적 소양이 있는 청중들에게 강연하는 중에 칠판 위에 수학적 명제를 쓰면서 '물론 이 명제는 명백합니다'라고 말했다. 다시 한번 살펴본 후 그는 '적어도 나는 이 명제가 명백하다고 생각합니다'라고 말했다. 그러고 나서 점점 의심스러워하더니 '실례합니다'라고 말하고 종이와 펜을 들고서 약 20분간 그곳을 떠났다. 그는 미소를 머금고 돌아와서는 승리한 듯이 다음과 같이 말했다. '맞았어요. 여러분 이 명제는 명백합니다.'

 곱셈 문제로 16 x 25를 살펴보자.

ⓛ 답은 무엇인가?

② 답을 어떻게 구했는가?

 

 위의 첫 번째 예에서 수학자가 처음에 명백하다고 한 것과 마지막에 명백하다고 한 것 사이에는 차이가 있다. 첫 번째는 명제가 참임을 직관적으로 받아들일 수 있다는 것이며, 두 번째는 논리적 분석을 통하여 이러한 직관적 수용이 정당하였음을 확신하는 것을 나타낸다. 비슷한 예로 두 번째 예에서 질문 ②에 답하려면 문제 자체에서 문제를 해결하는 사고 과정으로 문제 해결자의 관심이 전환되어야 한다.

 여기서 스켐프는 직관적 지능과 반영적 지능을 구분하고 있다. 직관적 단계에서는 외부에서 얻은 자료를 시각이나 청각과 같은 우리의 수용기를 통하여 인식하며, 이 자료는 개념구조에 의하여 자동으로 분류되고 다른 자료와 연결된다. 또는 말하기와 쓰기와 같이 자율 근육을 사용하여 외부 환경에 따라 행동하는 것도 생각해 볼 수 있다. 이처럼 '중재 사고 활동'을 거치지 않고 수용기를 통하여 이루어지는 지능을 직관적 지능으로 본다.

 

 반영적 단계에서는 중재 사고 활동이 자기반성적 인식의 대상이 된다. 위의 두 번째 예에서 16x25를 계산하는 문제에 '400'이라고 답했다면 다른 사람이 머릿속으로 어떻게 계산했는지를 질문할 수 있다. 그래서 한 가지 방법을 설명하면 그 방법이 왜 옳은지를 물을 수 있다. 이러한 질문에 답하는 데 필요한 정보는 우리의 외부 환경이 아니라 우리 자신의 개념 체계에서 찾을 수 있다. 이렇게 자신의 스키마를 어떻게 사용하는지를 어느 정도의 반성적 사고를 하게 되면, 더 중요한 단계로 도약할 수 있다. 16x25를 풀 수 없었던 사람이 25가 4이면 100임을 이용하여 4x(4x25)와 같이 생각해서 4x100으로 계산할 수 있고, 더 나아가서 24x25와 같은 문제를 해결할 수 있다. 이러한 반성적 사고 과정을 통하여 여러 가지 예로부터 일반적인 방법을 도출하고, 이는 다시 같은 종류의 다른 예에 적용될 수 있다. 그다음에는 방법이 구체적으로 형식화되며, 형식화된 것을 하나의 본질적인 원리로 생각하여 그 구조를 분석하게 된다. 이처럼 형식화되고 확장된 구조는 새로운 다른 예에서도 동일한 방식으로 작용할 수 있으며, 이러한 수학의 일반화 과정은 매우 세련되고 강력한 활동이 된다. 예를 들어, 구체적인 대상의 개수를 세는 것으로 형성되는 자연수 개념을 분수, 정수, 유리수, 실수와 같은 일반적인 수 개념으로 확장하기 위해서는, 덧셈의 교환 및 결합법칙, 곱셈의 교환 및 결합법칙, 분배법칙이라는 자연수 체계의 다섯 가지 형식적인 성질에 대한 이해가 필요하며, 이러한 이해는 반성적 지능에 의한 것이다.